#8 PH103B – Les paradoxes sorites

Qu’est-ce qu’un paradoxe ?

Dans le reste du cours, nous allons aborder la question des paradoxes, notamment à travers l’étude de deux familles de paradoxes :

– Les paradoxes sorites (du grec « sôros », le tas), qui font intervenir des prédicats vagues.
– Les paradoxes sémantiques et ensemblistes, qui font intervenir respectivement les notions de vérité et de fausseté et les notions d’ensemble ou classe.

Rappelons que la notion d’énoncé a été définie (dans le présent cours) sur la base de deux principes fondamentaux :

Principe de non-contradiction : aucun énoncé n’est à la fois vrai et faux (pas d’excès de valeur de vérité).

Principe de bivalence : tout énoncé est vrai ou faux (pas de défaut de valeur de vérité).

Comme nous allons le voir, les paradoxes sorites menacent surtout le principe de bivalence, c’est-à-dire nous poussent à considérer certains énoncés apparents comme n’étant ni vrais ni faux. Les paradoxes sémantiques menacent surtout le principe de non-contradiction, càd nous poussent à considérer certains énoncés apparents comme étant à la fois vrais et faux.

Qu’est-ce qu’un paradoxe ? Au sens étymologique, un paradoxe est simplement un énoncé qui va à l’encontre de l’opinion (« doxa », en grec). En ce sens, l’énoncé « La nature imite l’art » est paradoxal. En un sens plus précis (mais qui ne prétend pas couvrir tous les paradoxes possibles et imaginables), on peut définir un paradoxe comme une conclusion apparemment inacceptable dérivée de manière apparemment valide de prémisses apparemment acceptables.

Si ces « apparences » sont trompeuses, càd si la conclusion n’est pas réellement inacceptable, ou si au moins l’une des prémisses n’est pas réellement acceptable, ou encore si l’une des règles d’inférence est en fait non valide, le paradoxe est un sophisme. Selon un point de vue optimiste sur la rationalité et la logique, tous les paradoxes sont en fait des sophismes.

Certains paradoxes sont des antinomies. Une antinomie est la conclusion contradictoire d’un paradoxe. Les paradoxes sémantiques sont des antinomies.

Les paradoxes sorites

Les paradoxes sorites exploitent le caractère vague de certains prédicats (peut-être de tous les prédicats du langage ordinaire).

Le vague se distingue d’autres phénomènes sémantiques :

1) Un prédicat vague n’est pas un prédicat ambigu. Les mots « régime » et « rivière » sont ambigus, au sens où ils peuvent présenter plusieurs sens possibles selon le contexte. Par contraste, le vague est un trait du sens d’un prédicat, et peut apparaître même après que toute ambiguïté a été levée.

2) De même, il faut distinguer le vague du général. Un prédicat vague peut être plus ou moins spécifique.

3) Le vague se distingue du phénomène de la perspective ou de la relativité. Les adjectifs dits « attributifs », comme « petit » ou « gros », sont relatifs à une perspective. Par exemple, Jumbo est un petit éléphant, mais ce n’est pas un petit animal (alors même que tout éléphant est un animal). Il est petit pour un éléphant, mais pas pour un animal. Le vague apparaît même après que la référence à la perspective a été rendue explicite.

Ce qui caractérise essentiellement le vague, c’est l’existence de cas-limites ou de cas frontières. Le prédicat « rouge » est vague parce qu’il existe des cas-limites de rouge (par exemple, des objets dont la couleur se situe entre le rouge et l’orange). Le prédicat « chauve » est vague parce qu’il existe des cas-limites d’homme chauve, et ainsi de suite.

C’est l’existence de cas-limites qui constitue une menace pour le principe de bivalence. Considérons en effet Pierre, un cas-limite d’homme chauve. Pierre est-il chauve ? En d’autres termes, l’énoncé « Pierre est chauve » est-il vrai ? Si nous avons le sentiment que cet énoncé n’est pas vrai, nous n’avons pas le sentiment qu’il est franchement faux. Nous sommes enclins à dire, contre le principe de bivalence, qu’il n’est ni vrai ni faux.

À quoi tient le vague ? Les philosophes ont donné trois types d’explication au phénomène du vague :

1) Le vague est un défaut épistémique. Il y a une frontière nette entre, par exemple, le rouge et l’orange, ou entre le chauve et le non-chauve, ou encore entre un tas et un non-tas, mais nous ne la connaissons pas. Nos capacités cognitives (par exemple, dans le cas des couleurs, notre faculté de perception visuelle) sont approximatives, et supposent une marge d’erreur.

C’est en gros la position des Stoïciens (et en particulier de Chrysippe, 280-206 av. J.-C.). Elle ne nous oblige pas à renoncer au principe de bivalence. Tout énoncé de la forme « NP est chauve », où « NP » est un nom propre, est soit vrai, soit faux, même si nous ne sommes pas toujours en mesure de déterminer sa valeur de vérité.

2) Le vague est un défaut sémantique. Le sens que nous avons donné aux prédicats vagues est incomplet ou insuffisant ; en particulier, il ne nous dit pas comment appliquer ces prédicats dans les cas-limites. Nos prédicats ne sont tout simplement pas assez précis.

C’est en gros la position des logiciens classiques (Frege, Russell), qui supposent que l’on peut toujours rendre précis les prédicats que nous utilisons dans le cadre de la science.

3) Le vague est un défaut ontologique. C’est la réalité elle-même qui est vague (ou floue, pourrait-on dire). Nos prédicats vagues ne font que refléter la réalité telle qu’elle est. Il y a des objets vagues (comme les montagnes, les vallées, les nuages).

Un peu paradoxalement, cette position implique que nos prédicats vagues sont précis, puisqu’ils reflètent fidèlement une réalité intrinsèquement vague.

Autre question : le vague est-il un défaut ? En réponse à cette question, on peut faire valoir que le vague nous permet de former des généralisations empiriques qui seraient moins utiles et intelligibles si nous les rendions précises. Par exemple, l’énoncé « Le stress est plus répandu dans les zones à grande concentration de population » est intuitivement vrai. Pourtant, il semble vague : le prédicat « grande concentration », par exemple, est vague. Mais si nous cherchons à donner une interprétation numérique précise à cet énoncé, il perd une bonne partie de son intérêt en tant que généralisation.

La forme logique des paradoxes sorites

La plupart des paradoxes sorites étaient déjà connus dans l’Antiquité. C’est apparemment Eubulide, un philosophe Mégarique contemporain d’Aristote, qui les a formulés explicitement et systématiquement pour la première fois. Voici quelques exemples de paradoxes sorites :

Exemple 1 : l’exemple du tas de sel (qui a donné son nom aux paradoxes). Combien de grains de sel faut-il pour faire un tas ? La réponse est sans doute « un grand nombre ». Mais quel nombre ? La question est embarrassante, dans la mesure où il n’y a pas de ligne de démarcation nette entre un tas de sel et une pincée de sel, par exemple.

Exemple 2 : l’exemple des prédicats de degré de maturité humaine : « bébé », « enfant », « adolescent », « adulte ». Quand l’adolescence commence-t-elle ; quand l’enfance finit-elle ? Au bout de combien de battements de coeur pouvons-nous être considérés comme adultes ? A nouveau « un grand nombre ». Mais nous sommes incapables de citer un nombre précis, ni même d’envisager une procédure pour déterminer le nombre en question.

Exemple 3 : l’exemple des prédicats de couleur. Supposons une longue bande de papier sur laquelle on passe de manière continue du rouge à l’orange, ou du rouge au jaune, par toutes les nuances intermédiaires possibles. Comment fixer de manière non arbitraire la limite entre le rouge et l’orange, et celle entre l’orange et le jaune ?

Chacun de ses exemples fait intervenir quelque prédicat vague. Le problème posé par ces prédicats est celui de la tolérance. Le sens ordinaire que l’on donne aux prédicats « est un tas », « est un adulte », « est rouge » est tel que l’on tolère les changements « locaux » : un grain de sel de plus ou de moins, un battement de coeur de plus ou de moins, une très légère différence de nuance chromatique ne peuvent pas en eux-mêmes affecter la question de savoir si le prédicat s’applique ou non à la situation.

Par exemple, dans le cas du tas de sel, la tolérance prend la forme de l’implication suivante :

	Principe de tolérance : si n grains de sel font un tas, n-1 grains font également un tas.

L’affirmation selon laquelle le terme « tas » n’a pas de frontières nettes revient justement à dire qu’il n’y a pas de nombre n tel que l’énoncé conditionnel ci-dessus est faux – c’est-à-dire un nombre n (100 ?) tel que n grains de sel forment un tas qui n’en est plus un si on lui retranche un seul grain de sel.

Le principe de tolérance est le moteur des paradoxes sorites : par applications successives de ce principe, nous sommes apparemment forcés (sur le plan de la raison théorique) de conclure qu’une pincée de sel forme un tas, que nous sommes tous des nouveaux-nés ou que telle échantillon manifestement jaune peut être qualifié de « rouge ».

Les Stoïciens présentaient souvent les paradoxes sorites sous forme de questions. Par exemple, devant un échantillon manifestement rouge, on demande « Est-ce rouge ? ». La réponse est « oui ». Puis « Si cet échantillon est rouge, cet autre l’est-il aussi ? », à propos d’un autre échantillon présentant une nuance chromatique légèrement différente. La réponse est également « oui ». Puis « Donc cet autre échantillon est rouge ? ». La réponse est encore « oui », et le jeu peut recommencer. En concédant de plus en plus de réponses positives, on en vient à répondre « oui » à la question « Est-ce rouge ? » posée à propos d’un échantillon manifestement jaune.

Aux yeux des logiciens contemporains, le raisonnement sorite a typiquement la forme suivante :

Pa1
Si Pa1, alors Pa2
................
Si Pan-1, alors Pan
_________
Donc, Pan

Par exemple, « Pa1 » est l’énoncé « a1 est rouge », à propos d’un échantillon a1 manifestement rouge, et « Pan » est l’énoncé « an est rouge », à propos d’un échantillon an manifestement jaune.

Chaque énoncé conditionnel de cet argument est une application du principe de tolérance.

N.B. : Parfois, le raisonnement sorite prend une forme inductive, comme dans le « paradoxe de Wang » :

	1 est un petit nombre.
	Si n est un petit nombre, alors n+1 est un petit nombre.
	Donc, 21000 est un petit nombre.

Mais on peut en principe transformer cet argument en un argument déductif en détaillant chaque prémisse conditionnelle :

	1 est un petit nombre
	Si 1 est un petit nombre, 2 est un petit nombre.
	Si 2 est un petit nombre, 3 est un petit nombre.
	…
	Si 21000-1 est un petit nombre, 21000 est un petit nombre.
	Donc, 21000 est un petit nombre.

On voit que le raisonnement sorite répond à la définition provisoire que nous avons donnée des paradoxes : on part de prémisses manifestement vraies pour arriver à une conclusion manifestement fausse. (Attention : ne faites par l’erreur de penser que certains énoncés conditionnels de l’argument sont faux parce que leur antécédent est faux. Voyez la table de vérité des énoncés conditionnels : ils sont vrais quand leur antécédent est faux.)

Mais l’argument est-il valide ? Quelle est la règle d’inférence utilisée ? C’est le Modus Ponens, dont la forme générale est la suivante (où A et B sont des énoncés) :

	A
	Si A, alors B
	Donc, B

Cette forme d’inférence est parfaitement valide : par exemple « Il pleut. S’il pleut, je prends mon parapluie. Donc, je prends mon parapluie ». Comme la conclusion d’un argument de la forme Modus Ponens peut être la prémisse d’un autre argument de la même forme, le raisonnement sorite est apparemment impeccable.

Comme dans tous les cas où une conclusion inacceptable se présente à nous, nous avons trois options théoriques :

(i) Nous entérinons le raisonnement, en acceptant la conclusion.
(ii) Nous rejetons au moins une prémisse comme fausse.
(iii) Nous rejetons l’argument comme non valide.

Ce qui rend le raisonnement sorite paradoxal, c’est qu’aucune de ces options ne semble convaincante. (i) est exclu, et (iii) également, si le Modus Ponens est valide.

Il reste l’option (ii). Peut-être l’une des applications du principe de tolérance est-elle fausse. Considérons le contraste entre les deux arguments suivants :

Argument I

Une pile de 10’000 grains est un tas.
Pour chaque nombre n plus grand que 1, si une pile de n grains est un tas, alors une pile de n-1 grains est aussi un tas.
Donc un grain est un tas.

Argument II

Une température de 40 degrés est au-dessus du point de congélation.
Pour chaque nombre n, si une température de n degrés est au-dessus du point de congélation, alors une température de n-1 degrés est également au-dessus du point de congélation.
Donc une température de -20 degrés est au-dessus du point de congélation.

Les deux arguments ont la même forme. Mais seul le premier argument est de type sorite. Car ce qui rend le second argument non sain (quoique valide) est l’absence de principe de tolérance. En d’autres termes, la seconde prémisse de cet argument est fausse, puisque le cas particulier suivant est faux :

Si une température de 1 degré est au-dessus du point de congélation, alors une température de 0 degré est également au-dessus du point de congélation.

Le prédicat « être au-dessus du point de congélation » n’est pas vague, du moins en ce qui concerne l’argument II. Il y une frontière nette entre le point de congélation et les températures plus élevées.

Ne pourrait-on pas dire la même chose pour le premier argument ? Peut-être y a-t-il une frontière nette entre ce qui fait un tas et ce qui n’en fait pas un. Cette frontière dépend sans doute du contexte, en particulier des caractéristique physiques de la situation, mais peut-être existe-t-elle sans que nous la connaissions. Dans cette optique (qui est à nouveau celle des Stoïciens), la différence entre les deux arguments est seulement épistémique : nous ignorons la limite pertinente dans le cas de l’argument I alors que nous la connaissons dans le cas de l’argument II.

Chrysippe recommandait qu’à un certain point dans la série des questions sorites, nous suspendions notre jugement et gardions le silence. Cette stratégie nous permettrait selon lui de ne pas tomber dans l’erreur en essayant de deviner la réponse. La position de Chrysippe est subtile : garder le silence ne revient pas à admettre son ignorance. Le Stoïcien est supposé affirmer quelque chose seulement s’il sait que son affirmation est correcte. Donc, il ne devrait pas répondre « Je ne sais pas » à une question-limite, car cela reviendrait à admettre qu’il ne sait ni que n grains forment un tas, ni que n-1 grains ne forment pas un tas.

C’est ce que l’on peut retenir des paradoxes sorites : nous pouvons utiliser des prédicats vagues dans le raisonnement (nous ne pouvons pas faire autrement dans la plupart sinon dans tous les cas), mais nous devons être capables de repérer les raisonnement de type sorite, pour éviter de tomber dans l’erreur. Ces raisonnements sont une pente savonneuse sur laquelle il vaut mieux ne pas s’engager. Suivons la sagesse de Chrysippe, en s’arrêtant même avant le point d’ignorance. Cicéron représente Chrysippe comme un charretier qui arrête ses chevaux juste avant un précipice (qui correspond au passage du vrai au faux).

[Pour en savoir plus sur les paradoxes sorites, et notamment sur une autre solution aux paradoxes (à l’origine de la logique dite « floue »), cf. Pascal Engel, La norme du vrai, Paris, Gallimard, 1984, Ch. X, « Le vague ». Mais attention : c’est un chapitre difficile, dont la lecture n’est pas requise pour l’examen de 103.]