Exercice 4.1. Réflexion sur les tautologies
1. Dans un pays imaginaire, il y a deux catégories de personnes : les valets et les chevaliers. Les valets mentent toujours, les chevaliers disent toujours la vérité. Soit A et B deux des habitants de ce pays. A dit : "Au moins l’un de nous deux est un valet". Dites à quelle catégorie A et B appartiennent.
2. Cette fois, A dit : "Si B est un chevalier, alors je suis un valet". Même question.
3. A dit : "Ou je suis un valet, ou B est un chevalier". Même question.
Exercice 4.2. Nini
On introduit un nouveau connecteur propositionnel, "", pour exprimer la fonction correspondant à l’expression française "ni ... ni".
1. Donnez la table de vérité de .
2. Montrer qu’on peut exprimer le conditionnel à l’aide de la disjonction et de la négation.
3. Montrer qu’on peut exprimer la conjonction à l’aide de la disjonction et de la négation.
4. Montrer qu’on peut exprimer la négation à l’aide de .
5. Montrer qu’on peut exprimer la disjonction à l’aide de .
6. Montrer qu’on peut exprimer le conditionnel et la conjonction à l’aide de .
Exercice 4.3. Formaliser un argument
Considérez l’argument suivant :
Si Dieu existe, il n’y a pas de mal dans le monde, à moins que Dieu ne soit pas juste, qu’il ne soit pas tout puissant, ou qu’il ne soit pas omniscient. Mais si Dieu existe, il est juste, tout puissant, et omniscient. Et cependant, il y a du mal dans le monde. Il faut donc conclure que Dieu n’existe pas.
– Formalisez cet argument dans le langage de la logique propositionnelle.
– A l’aide de la méthode des arbres, déterminez s’il est valide ou non.
Exercice 4.4. Recherche de contre-modèles par la méthode des arbres
En construisant un arbre pour chaque forme d’argument suivante, vous déterminerez si la forme est valide, et si ce n’est pas le cas, vous exhiberez un de ses contre-modèles. (Note : J’utilise le signe «  » à la place du sabot (|=) qui sépare habituellement les prémisses de la conclusion.)
(1)	p  (q  r), s  (p  t), r  s  q
(2)	p  q, q  r, r  p