Exercice 7.1. Sémantique du calcul des prédicats
Soit l’interprétation suivante du calcul des prédicats :
-	constantes :
a : Antoine
b : Béatrice
c : Catherine
-	prédicat :
P : {<a, b>, <a, c>, <b, c>, <c, c>, <c, a>}
Nous dirons que la relation « Pxy » signifie « x voit y ».
Répondez aux questions suivantes :
(1)	Est-ce que Christine voit Antoine ? Est-ce qu’elle voit Béatrice ?
(2)	Dessinez le diagramme de Venn correspondant à cette interprétation.
(3)	Dites si les formules suivantes sont vraies dans cette interprétation :
a)	Pba
b)	Pcb  Pcc
c)	Pba  Pcc
d)	(Pab  (Pba  Pcb))  Pbc
e)	xPxx
f)	xPxc
g)	xPax
h)	xyPyx
i)	xyPxy
j)	x(Pxx  yPxy) 
Exercice 7.2 Arbres pour trouver des modèles dans le calcul des prédicats
En utilisant la méthode des arbres, trouver un modèle pour les formules suivantes, et faire le diagramme de Venn. (Un modèle est une interprétation de la formule dans laquelle cette formule est vraie.)
(1)	xyRxy
(2)	xyRxy & xyRxy
(3)	(xRxx & xyRxy) & xyRxy
(4)	(xyRxy & xyRxy) & x(Rxx & yRxy)
Exercice 7.3. Arbres pour les tautologies en calcul des prédicats
Utilisez la méthode des arbres pour vérifier que les formules ci-dessous sont des tautologies.
(1)	x(Rxx  yRxy)
(2)	xyRxy  yxRxy
(3)	xPx  x(Px  Qx)
(4)	x(Px  Qx)  (xPx  xQx)
(5)	x(Px & Qx)  (xPx & xQx)
(6)	(xPx  xQx)  x(Px  Qx)
(7)	(xPx & xQx)  x(Qx  Px) 
(8)	xy(Py  Rxy)  (xPx  xRxx)
(9)	(x(Px  Qx) & x(Px & Rx))  xQx
(10)	(xPx & xQx)  x(Qx  Px)