Exercice 4.1. Vérifonctionnalité
Montrer que « si…alors… » des conditionnelles indicatives de la langue naturelle n’est pas un connecteur vérifonctionnel. (Une conditionnel indicative est une phrase de type « si… alors… » où tous les verbes sont à l’indicatif, et non au conditionnel. Par exemple : « si la caravane passe, les chiens aboient. »)
Pour cela, utiliser les deux phrases suivantes :
(1) « Si le meurtrier est rentré par la porte, il avait une clef. »
(2) « Si le meurtrier est rentré par la porte, il est rentré par la fenêtre. »
Donnez des valeurs de vérité pour les propositions élémentaires contenues dans (1) et (2), et des valeurs de vérité plausibles pour (1) et (2), qui montrent que « si… alors… » n’est pas vérifonctionnel.
Réponse.
Le meurtrier est rentré par la porte	F
Le meurtrier est rentré par la fenêtre	V
Le meurtrier avait une clef		V
V
F
Alors que les propositions élémentaires ont les mêmes valeurs vérité dans (1) et (2) (Si F alors V), la valeur de vérité de (1) et (2) diffère. La valeur de vérité de (1) et de (2) n’est donc pas fonction de la valeur de vérité des énoncés élémentaires qui les composent.
Exercice 4.2. Conjonctions cachées en langue naturelle (W. Hodges)
Parmi les phrases suivantes, lesquelles peuvent être traduites comme des conjonctions ?
(1) Cette soirée charmante s’est terminée par une valse.
Non (on ne peut pas dire « Cette soirée était charmante & cette soirée s’est terminée par une valse ». supposons en effet qu’il y ait deux soirées. « Alors que la soirée de François prenait fin, une soirée charmante battait son plein. Cette soirée charmante… . » Si on remplaçait la phrase par une disjonction dans ce dernier cas, la référence de « cette soirée » serait indéterminée voire fausse. En bref, « charmante » fait partie du terme singulier désignant la soirée, et sert partiellement à identifier la soirée dont on parle.)
(2) L’animal que tu as vu est probablement un renard.
Non. (Même raison : « que tu as vu » sert à identifier « l’animal » dont on parle. « Tu as vu l’animal. L’animal est un renard. » est faux.)
(3) L’Angleterre, qui était une grande puissance, cherche désormais un nouveau rôle.
Oui. (« L’Angleterre était une grande puissance et elle [l’Angleterre] cherche désormais un nouveau rôle. »)
(4) Le professeur, qui ne savait rien de cette histoire, esquiva la question.
Oui.
(5) L’amie que je me suis faite à cette soirée est venue hier.
Non.
(6) Antoine est un grand mathématicien.
Non. (« Antoine est grand et Antoine est un mathématicien » ne veut pas dire la même chose.)
(7) Antoine est un mathématicien chauve.
Oui. (« Antoine est chauve et Antoine est un mathématicien. »)
(8) Ceci est un faux passeport.
Non. (Précisément, si « Ceci est un faux passeport » alors il est faux que « Ceci est un passeport ».)
Remarque. Les trois derniers exemples montrent que, l’air de rien, la façon dont les adjectifs se combinent au noms n’est pas simple. On distingue les adjectifs intersectifs (cas disjonction, e.g. (7)) des adjectifs modificateurs (cas (6) et (8)), mais diverses théories existent pour rendre compte de leur fonctionnement et de leurs différences.
Exercice 4.3. « ou » inclusif et exclusif (F. Lepage)
Dites si, dans les phrases suivantes, le « ou » a un sens inclusif ou exclusif. Si les deux sont possibles, donnez un contexte dans lequel le sens est exclusif et un contexte dans lequel le sens est inclusif.
(1) La porte est ouverte ou fermée.
Exclusif. (Certains d’entre vous m’ont fait remarquer que comme la situation dans laquelle p et q ici sont tous deux V n’est pas possible, et que c’est la valeur de (1) pour celle-ci qui est pertinente pour différencier exclusif et inclusif, la signification de « ou » ici était indéterminée. Ok, c’est admis. Une autre possibilité est de dire que dans tous les cas où l’incompatibilité de p et de q est connue, le sens est exclusif.)
(2) Ou il fait beau ou je reste chez moi.
Exclusif. 
(3) Antoine est au bar ou aux toilettes.
Exclusif. 
 (4) Les ouvriers travaillent autant ou plus que les cadres.
Inclusif. 
Exercice 4.4. « ou » inclusif et exclusif
Le « ou » exclusif existe en logique. Il est noté w. Faites sa table de vérité.
p	q	p w q	
V	V	F	
V	F	V	
F	V	V	
F	F	F	

Exercice 4.5. L’implication matérielle
Dites si les phrases suivantes, entendues naturellement, sont vraies. Dites si l’implication matérielle correspondante est vraie.
(1) S’il a plu, la route est glissante.
Naturel : V. Matériel : V.
(2) Si les poules ont des dents, elles ne peuvent pas mordre.
Naturel : F. Matériel : V (l’antécédent est faux).
 (3) Si la terre est une sphère parfaite, on ne peut pas en faire le tour.
Naturel : F. Matériel : V (l’antécédent est faux).
 (4) Si les pingouins nagent, les autruches courent.
Naturel : F. Matériel : V (antécédent et conséquent sont vrais).
Exercice 4.6. Traduction vers la logique – implication matérielle (F. Lepage)
Traduisez les phrases suivantes en formules du calcul propositionnel. (Mettez les phrases atomiques entre parenthèses.) Faites les tables de vérité de l’original et de la traduction pour vérifier cette dernière.
(1) Si la traduction est bonne, elle sera acceptée.
p : la traduction est bonne
q : la traduction est acceptée
Traduction : p  q
p	q	p  q	Si la traduction est bonne, elle sera acceptée	
V	V	V	V	
V	F	F	F	
F	V	V	V	
F	F	V	V	
(Commentaire: ligne 2, par ex, on imagine une situation dans laquelle la traduction est bonne mais pas acceptée. On se demande s’il aurait été vrai de dire, dans cette situation : « si la traduction est bonne, elle sera acceptée ».)
Commentaire 2 : ligne 4, on pourrait également soutenir que la valeur de l’original n’est pas déterminée. La trad est fausse et non acceptée ; aurait-elle acceptée si elle était bonne ? rien ne l’assure. Mais dans ces cas on fera pencher les traductions vers le langage logique.)
(2) La traduction ne sera acceptée que si elle est bonne.
p : la traduction est acceptée
q : la traduction est bonne
Traduction : p  q
p	q	p  q	La traduction ne sera acceptée que si elle est bonne	
V	V	V	V	
V	F	F	F	
F	V	V	V	
F	F	V	V	
Commentaire : ligne 3, l’orginal est vrai. L’original ne dit pas que si la traduction est bonne, elle sera acceptée. Il dit que si elle acceptée, elle était bonne ; c’est compatible avec la situation où elle est bonne mais non acceptée.
(3) Pour que les souris volent, il faut qu’elles aient des ailes.
p : les souris volent
q : les souris ont des ailes
Traduction : p  q
p	q	p  q	Pour que les souris volent, il faut qu’elles aient des ailes	
V	V	V	V	
V	F	F	F	
F	V	V	V	
F	F	V	V	
(4) Pour que je réussisse l’examen de logique, il ne suffit pas que j’assiste au cours.
Mauvais exemple. On ne peut pas donner de valeurs de vérité pour la ligne ‘j’assiste au cours et je réussis l’exam’.
 (5) On n’ira pas à Marseille sans passer par Lyon.
p : On ira à Marseille.
q : On passera par Lyon.
Traduction : (p & q)
p	q	(p & q)	On n’ira pas à Marseille sans passer par Lyon.	
V	V	V	V	
V	F	F	F	
F	V	V	V	
F	F	V	V	

Exercice 4.7. Traduction vers la logique – conjonction, négation, disjonction (F. Lepage)
Traduisez les phrases suivantes en formules du calcul propositionnel. (Mettez les phrases atomiques entre parenthèses. Attention : pas de négation en langue naturelle « ne…pas » dans la traduction.)
(1) Pierre et Marie se baignent.
p : Pierre se baigne.
q : Marie se baigne.
Traduction : p & q
(2) Pierre et Marie se parlent.
p : Pierre et Marie se parlent. [=l’un à l’autre]
Traduction : p
(Autre solution : Pierre parle à Marie et Marie parle à Pierre.)
(3) Pierre aime Marie mais ce n’est pas réciproque.
p : Pierre aime Marie
q : Marie aime Pierre
Traduction : p & q
(4) Il est faux que Pierre aime Marie mais que ce ne soit pas réciproque.
p, q idem.
Traduction : (p & q)
(5) Pierre n’aime pas Marie mais ils ne s’aiment pas tous les deux.
p : Pierre aime Marie
q : Pierre et Marie s’aiment
Traduction : p & q
(6) Pierre n’aime ni le poisson ni le fromage.
p : Pierre aime le poisson
q : Pierre aime le fromage
Traduction : p & q