Logique et langue naturelle
1. Les connecteurs vérifonctionnels et leurs équivalents en langue naturelle
Les connecteurs vérifonctionnels tels que , &, , , et , ont deux caractéristiques :
(VF) Ils disent quelle est la valeur de vérité de la proposition complexe en fonction de la valeur de vérité des propositions simples. (vérifonctionnalité au sens strict.)
(VF’) Ils ne disent que cela. (vérifonctionnalité en un sens plus large ; e.g. chez Lepage)
1.1 Connecteurs plus que vérifonctionnels, en langue naturelle
Intéressons-nous d’abord à (VF’). Dans les langues naturelles, il y a beaucoup de connecteurs qui n’obéissent pas à (VF’). Par exemple :
(1) L’appartement est bien situé et il est sombre.
(2) L’appartement est bien situé mais il est sombre.
(3) L’appartement est bien situé quoiqu’il soit sombre.
(4) L’appartement est bien situé et pourtant il est sombre.
(5) Non seulement l’appartement est bien situé, mais encore il est sombre.
(6) L’appartement est bien situé, et en plus il est sombre.
Les phrases (1)-(4) ont toujours la même valeur de vérité : elles sont vraies si et seulement si a) l’appartement est bien situé, et b) l’appartement est sombre. (Et ceci même dans le cas de 5 et 6, qui semblent étranges mais seraient normales dans des contextes appropriés.) Si on devait les traduire en langage du calcul des propositions, on écrirait pour chacune la même chose :
(7) (l’appartement est bien situé) & (l’appartement est sombre).
Autrement dit, « et », « mais », « quoique » et « pourtant » ont la même table de vérité, celle de &. La fonction des valeurs de vérité de propositions simples quelconques p, q, vers les valeurs de vérité des propositions complexes « p et q », « p mais q », etc. est la même.
[On emploie ici la notion mathématique de fonction. Une fonction associe à une ou plusieurs choses données un valeur. En math on écrit f(x)=y, où x est la donnée et y la valeur pour cette donnée. On peut écrire aussi f : x  y, qui se lit « la fonction f associe y à x ». Un connecteur logique comme & est une fonction : on lui donne les valeurs de vérité de p et de q, et il donne une valeur de vérité – celle de p&q.]
Pourtant il y a bien des différences entre (1), (2), (3) et (4) : ces phrases ne signifient pas toutes la même chose. Cela veut dire que les connecteurs « et », « mais », « et pourtant », etc. disent quelque chose de plus que la valeur de vérité du tout en fonction de celle des parties. Ce quelque chose en plus n’affecte pas la vérité et la fausseté des phrases (il sert par exemple à faire la différence entre ce qui est considéré comme déjà su et ce qui est considéré comme nouveau – « … mais il est petit »= qqch de nouveau, que le locuteur n’attend pas). La logique ne s’intéresse qu’aux relations de vérité, elle ignore donc cet aspect de la signification.
1.2 Connecteurs non vérifionctionnels, en langue naturelle
Il y a toutefois également, en langue naturelle, des connecteurs qui n’obéissent pas à la vérifonctionnalité stricte (VF). Pour ces connecteurs, la vérité d’une phrase complexe n’est pas fonction de la vérité ou fausseté des phrases simples qui la composent.
Ces connecteurs posent un problème aux logiciens : on ne peut pas se contenter d’en dire qu’ils sont des connecteurs logiques + un supplément d’âme non relatif à la vérité (comme ceux de la section précédente). Ici les connecteurs ont des propriétés particulières qui concernent la vérité et la fausseté, et donc qui concernent la logique.
Qu’est-ce que cela veut dire que la vérité d’un complexe n’est pas fonction de la vérité des prop simples ? Cela signifie que, si on vous donne les valeur de vérité des prop simples, cela ne suffit pas pour savoir si la phrase complexe est vraie ou pas. Comparer :
« A et B ». Si je sais que A est vrai, et que B est vrai, je sais quelle est la valeur de vérité de la phrase complexe « A et B ».
« A X B ». Je sais que A est faux, que B est faux, et pourtant je ne sais pas quelle est la valeur de vérité de la phrase complexe « A X B ». On peut trouver un exemple de A X B où :
A	B	A X B	
F	F	V	
Et un autre où :
A	B	A X B	
F	F	V	
Exemple de connecteur non-vérifonctionnel : « si…alors… » contrefactuel. On appelle contrefactuelle une phrase conditionnelle, c’est-à-dire une phrase de type « si… alors…. », où la condition est contraire aux faits. En vieille grammaire on dit « irréel ». Exemples :
(1) Si les kangourous n’avaient pas de queue, ils tomberaient à la renverse. (ex de D.K. Lewis)
(2) Si L. H. Oswald n’avaient pas tué Kennedy, quelqu’un d’autre l’aurait fait. (ex. de W.V.O. Quine)
(3) « S’il avait fini son travail, il pourrait se reposer. »
Ces phrases sont bien différentes des conditionnelles indicatives suivantes :
(4) Si les kangourous n’ont pas de queue, ils tombent à la renverse.
(5) Si L.H. Oswald n’a pas tué Kennedy, quelqu’un d’autre l’a fait.
(6) S’il a fini son travail, il peut se reposer.
Or le « si… alors… » des contrefactuelles enfreint clairement la vérifonctionnalité. Prenons :
(7) Si j’étais riche, je ne travaillerai pas
(8) Si j’étais riche, je serais malheureux
On suppose que je ne suis pas riche, que je travaille, et que je ne suis pas malheureux. On peut très bien imaginer que (7) soit vraie, et (8) soit fausse. Soit p=je suis riche, q=je ne travaille pas, et r=je suis malheureux. Je note  le « si…alors… » contrefactuel. On a :
P	q	p  q		p	r	pr	
F	F	V		F	F	F	
Cela montre que pour les mêmes valeurs de vérité des propositions élémentaires, la valeur de vérité de la proposition complexe construire avec  n’est pas fixée. (Il n’y a pas de table de vérité de ).
Remarque : Cela ne signifie pas que le « si…alors… » des contrefactuelles n’a pas de logique. En fait, il a été ramené à un connecteur vérifonctionnel par D.K. Lewis (Counterfactuals, 1973) et R. Stalnaker, mais dans le cadre d’une logique plus complexe, qui n’attribue pas aux propositions seulement une valeur de vérité, mais une valeur de vérité dans chaque « monde possible ». (La valeur de vérité de la logique standard correspond à la valeur de vérité de la proposition dans le « monde réel ».)
On peut montrer que même le « si…alors… » des conditionnelles indicatives n’est pas vérifonctionnel, contrairement au  de la logique.
 Exercice 4.1
2. Connecteurs et langue naturelle
Remarques sur les liens entre la langue naturelle et les connecteurs logiques.
2.1. Les conjonctions cachées.
2.1.1. Les conjonctions et les subordonnées relatives
Certaines phrases du langage naturel ont le sens de conjonctions logiques (p&q) sans que des connecteurs comme « et » ou « mais » apparaissent. Exemple :
(1) Le dentiste, que je connais bien, passe son temps à boire.
Ce qui équivaut à:
(2) Le dentiste passe son temps à boire. Je connais bien le dentiste.
(Bien sûr, (1) et (2) n’ont pas la même signification ; mais on a affaire ici à des différences qui concernent autre chose que les valeurs de vérité, comme avec « mais » par rapport à « et », cf. 1.1.)
Par contre, (3) n’est pas équivalent à une conjonction comme (2) :
(3) Le dentiste que je connais bien passe son temps à boire.
« que je connais bien » sert ici à désigner le bon dentiste.
On pourrait objecter que (3) est équivalent à :
(4) Le dentiste que je connais bien passe son temps à boire. Je connais bien ce dentiste.
Mais notez que (4) contient (3). Une phrase ne peut pas dire plus que ce qu’elle dit, donc (4) ne dit pas la même chose que (3). En fait, (4) est juste quelque chose qui découle de (3).
2.1.2. Les conjonctions cachées et les adjectifs.
De même certains constructions Adjectif + Nom équivalent à des conjonctions, mais d’autres pas du tout.
(1) Pierre est un homme courageux.
Equivaut à :
(2) Pierre est un homme. Pierre est courageux.
Par contre :
(3) C’est un soldat en pierre.
(4) C’est une grande souris.
(5) C’est un bon couteau.
Ne sont pas équivalents à :
(6) C’est un soldat. C’est en pierre.
(7) C’est une souris. C’est grand.
(8) C’est un couteau. C’est bon.
Dans les phrases (3)-(5) l’adjectif vient ‘modifier’ le nom, il ne vient pas comme une propriété conjointe à celle que donne le nom.
 Exercice 4.2
2.2. Le « ou » exclusif et inclusif.
Le connecteur  que nous avons introduit en logique est inclusif : non seulement pq il est vrai quand l’une des deux propositions est vraie, mais aussi quand les deux sont vraies.
En langage naturel, le « ou » n’est pas toujours inclusif. Il peut avoir le sens de « ou bien…, ou bien… ». Exemple :
(1) Marcel aura ou bien un chien, ou bien un chat.
La phrase (1) est fausse si Marcel aura un chien et un chat.
Certains linguistes et philosophes considèrent en conséquence que le « ou » du langage naturel est ambigü. D’autres qu’il est inclusif, mais que dans certains contextes il permet à un locuteur de faire passer un message contenant un ou exclusif.
Remarque. Pour éclaircir cette notion de « faire passer », regardez l’exemple suivant :
(2) Pierre s’est emparé de la clef et a ouvert la porte.
Cette phrase peut être utilisée pour « faire passer » l’idée que Pierre a ouvert la porte avec la clef. Mais la phrase elle-même ne dit pas cela. Elle dit juste que Pierre s’est emparé de la clef, d’une part, et qu’il a ouvert la porte, d’autre part.
(Remarque historique. Une proposition que le locuteur fait passer, sans la dire explicitement, est appelée implicature, de l’anglais « implicature ». La notion a été inventée par le philosophe du langage Paul Grice dans les années 60. Dans les années 50 à Oxford fleurissait « l’école des philosophes du langagge ordinaire », dont le principal représentant est J.L. Austin. Ils étaient les héritiers des réflexions de de Wittgenstein sur le langage naturel. P. Grice en faisait partie. Les travaux d’Austin et Grice on donné naissance à la pragmatique, l’étude des actes de langage : cf. Austin, Quand dire c’est faire, Sperber & Wilson, La pertinence, Minuit 1989, Récanati, Les énoncés performatifs, Minuit 1982.)
 Exercice 4.3
 Exercice 4.4
2.3. L’implication matérielle
Le « si…alors… » des langues naturelles est complexe, comme on l’a pressenti en 1.2. ci-dessus. Il donne lieu à beaucoup de débats : est-ce un terme ambigü, qui a différents sens ? Les contrefactuelles semble être un usage bien isolé. Dans les conditionnelles indicatives, il y a qui concernent simplement les faits (ce qui se passe ou ce qui se passera) :
(1) « Si tu bois trop, tu ne pourras pas rentrer chez toi. »
D’autres concernent ce qu’on pense être le cas (ce qui doit être vrai si telle ou telle hypothèse est vraie – et non si telle hypothèse était vraie comme dans une contrefactuelle) :
(2) « Si le meurtrier n’est pas rentré par la porte, il est rentré par la fenêtre. »
Doit-on formaliser ces différents emplois différemment ? La question est ouverte.
L’implication matérielle qu’on utilise en logique, notée , est au contraire bien définie : elle est vérifonctionnelle, et sa table est :
p	q		p  q	
V	V		V	
V	F		F	
F	V		V	
F	F		V	
L’implication matérielle est la version la plus faible possible de « si…alors… ». Lorsqu’on affirme qqch comme « si p alors q » on doit au moins affirmer ce qu’affirme l’implication matérielle. A savoir, que nous ne sommes pas dans une situation où p est vrai et q est faux (ligne 2). Il est donc très « facile » pour une implication matérielle d’être vraie : si l’antécédent est faux elle est vraie, si le conséquent est vrai elle est vraie. Ou encore : prenez deux propositions vraies quelconques p et q, p implique matériellement q. (« Si les camions de pompiers sont rouges la terre tourne »).
Les débats concernent la question de savoir si les phrases « si… alors… » n’affirment pas plus que cela ; autrement dit qu’il est moins facile à une phrase « si…alors… » d’être vraie.
L’exercice suivant vous permettra de comparer l’implication matérielle et le « si…alors… » du langage naturel :
 Exercice 4.5
3. Traductions
3.1. Implication matérielle
Les phrases « si…alors… » peuvent être rendues par l’implication matérielle. (On a mentionné les limites de cette traduction, cf. 2.3., mais on les laissera de côté désormais.) 
D’autres expressions du langage naturel permettent d’exprimer des phrases conditionnelles. Exemples :
(1) Tu peux sortir seulement si tu as fini tes devoirs.
(2) Il faut casser des œufs pour faire une omelette.
(3) Les enfants ne s’amusent que si Pierre vient.
(4) A moins d’avoir fini ton travail, tu ne peux pas sortir.
Sont traduisibles par :
(1’) (tu peux sortir)  (tu as fini tes devoirs)
(2’) (faire une omelette)  (casser des œufs)
(3’) (les enfants s’amusent)  (Pierre vient)
(4’) (tu peux sortir)  (tu as fini ton travail)
A vous :
 Exercice 4.6
3.2. Conjonction, disjonction et négation.
La langue naturelle a des raccourcis qui évitent les répétitions pour exprimer les conjonctions, et les combinaisons de la négation avec la conjonction ou la disjonction. Ces raccourcis rendent difficile la traduction en langage logique.
(1) Paul et Antoine se détestent.
(1’) (Paul déteste Antoine) & (Antoine déteste Paul)
(2) Paul n’est l’ami ni de Pierre ni de Jean
(2’) (Paul est l’ami de Pierre) & (Paul est l’ami de Jean)
etc.
 Exercice 4.7