#9 PH103B – Les paradoxes sémantiques

Le paradoxe du pont

Jean Buridan (philosophe et logicien du 14ème siècle), Sophismata, 17ème sophisme :

Socrate parvient à un pont gardé par un puissant seigneur du nom de Platon. Socrate demande à Platon la permission de franchir le pont. Platon répond :

« Je jure qui si le prochain énoncé que tu formes est vrai, je te laisse passer, mais s’il est faux je te jette à l’eau ».

Socrate dit :

« Tu vas me jeter à l’eau »

Si Platon ne jette pas Socrate à l’eau, celui-ci aura parlé faux et devrait être jeté à l’eau ; mais si Platon jette Socrate à l’eau, celui-ci aura parlé vrai et ne devrait pas être jeté à l’eau.

Cet exemple illustre l’impossibilité de remplir certaines obligations apparentes pour des raisons logiques. Buridan conclut de cet exemple, assez raisonnablement, que Platon n’a en fait aucune obligation, parce que toute obligation implique la possibilité de la remplir.

Si Platon est libre de toute obligation, il est également libre de jeter Socrate à l’eau. Socrate peut-il garantir que Platon ne le jette pas à l’eau ? Au lieu de dire « Tu vas me jeter à l’eau », il peut former un énoncé plus complexe :

« Ou bien je suis en train de parler faux et tu vas me jeter à l’eau, ou bien je suis en train de parler vrai et tu ne vas pas me jeter à l’eau ».

Si cet énoncé est vrai, le premier terme de la disjonction est exclu et le second doit être vrai. Par conséquent, Socrate n’est pas jeté à l’eau (en supposant que Platon est honnête).

Si l’énoncé est faux, les deux termes de la disjonction sont faux. En particulier, la conjonction qui constitue le premier terme de la disjonction est fausse. Comme le premier terme de la conjonction est vrai (Socrate parle faux), le second terme doit l’être aussi et Socrate reste au sec.

On trouve un paradoxe similaire dans le Don Quichotte de Cervantes, II, Ch. 51 :

Dans cette maison, il y avait d’ordinaire quatre juges qui appliquaient la loi qu’établit le seigneur de la rivière, du pont et du fief. Laquelle était ainsi conçue : 
«  Si quelqu’un passe sur ce pont d’une rive à l’autre, il doit jurer premièrement en quel lieu et vers quelles personnes il va. S’il dit la vérité, qu’on le laisse passer, et, s’il a dit un mensonge, qu’il soit pendu à ce gibet sans aucune rémission »
Quand on eut connaissance de cette loi et de sa rigoureuse condition, beaucoup de personnes passaient et repassaient sur le pont, et l’on voyait incontinent par ce qu’elles juraient si elles disaient vrai : de sorte que les juges les laissaient passer librement. Or il arriva qu’en faisant jurer un homme, celui-ci dit que, par le serment qu’il faisait, il s’en allait mourir à ce gibet qui était proche, et qu’il n’y allait pas faire autre chose. Les juges s’arrêtèrent sur ce serment et dirent entre eux : « Si nous laissons passer cet homme librement, il a fait un faux serment, et il faut qu’il meure selon la loi. Et si nous le pendons, il a juré qu’il s’en allait mourir à cette potence, et, parce qu’il aura juré la vérité, il doit demeurer libre, selon la teneur de la même loi. On vous demande maintenant, Monsieur le Gouverneur, ce que les juges feront de cette homme, car jusqu’à présent ils sont incertains et en suspens. »

La réponse de Sancho Pança (gouverneur de l’île de Barataria) : « L’homme que vous dites jure qu’il s’en va mourir au gibet, et s’il y meurt il a juré la vérité, et de par la loi il mérite d’être libre et de passer le pont. Mais, si on ne le pend point, il a juré un mensonge, et par la même loi il mérite d’être pendu. […] Je dis donc que de cet homme là on laisse passer la partie du corps qui a dit la vérité, et que celle qui a menti soit pendue. » Les juges répondent à Sancho que si on le divise il mourra. Ce dernier répond que son maître Don Quichotte lui a conseillé que quand les opinions sont en balance on ait recours à la miséricorde.

Le sophisme de Buridan n’est pas une véritable antinomie dans la mesure où il ne fait intervenir aucun énoncé qui est à la fois vrai et à la fois faux.

Le paradoxe du Menteur (Épiménide le Crétois)

Si je dis que je suis en train de mentir, dis-je la vérité ? Si je dis la vérité, je mens et donc je forme un énoncé faux ; mais si je ne dis pas la vérité je mens, et donc je dis bien la vérité. Par conséquent, mon énoncé est à la fois vrai et faux.

Trois remarques :

(i) La référence au mensonge n’est pas nécessaire. Il suffit d’avoir l’énoncé suivant :

	Le Menteur : « Le présent énoncé est faux. »

où l’expression « le présent énoncé » fait référence à l’énoncé même dont elle fait partie.

(ii) Nous avons deux arguments également bons, l’un qui justifie la conclusion que l’énoncé est vrai, l’autre qui justifie la conclusion que l’énoncé est faux.

Argument en faveur de la vérité de l’énoncé : supposons qu’il soit faux. Il dit qu’il est faux, donc il doit être vrai.

Argument en faveur de la fausseté de l’énoncé : supposons qu’il soit vrai. Il dit qu’il est faux, donc il doit être faux.

Remarquons la structure croisée de l’argumentation : la prémisse de chaque argument est la conclusion de l’autre.

On peut essayer de résoudre le paradoxe en affirmant que l’énoncé en question n’est ni vrai ni faux. De cette manière, on préserve le principe de non-contradiction au détriment du principe de bivalence. Mais les choses se compliquent, car il existe une version renforcée du paradoxe du Menteur :

	Le Menteur Renforcé : « Le présent énoncé n’est pas vrai. »

Ici, la contradiction est que l’énoncé est à la fois vrai et non vrai. Le rejet du principe de bivalence ne permet plus de résoudre le paradoxe, comme dans le cas précédent du Menteur. Nous sommes apparemment contraints de rejeter le principe de non-contradiction.

(iii) Nous avons le sentiment que le paradoxe repose sur l’auto-référence, càd sur la référence à soi-même. L’énoncé « Le présent énoncé est F » (pour quelque prédicat F) est en effet auto-référentiel. Mais au sens strict, c’est la référence circulaire plutôt que l’auto-référence qui est source de paradoxes, comme en témoigne l’exemple suivant (qui correspond au 9ème sophisme de Buridan) :

	Le Menteur cyclique.
	Socrate : (S) « Ce que Platon dit est faux »
	Platon : (P) « Ce que Socrate dit est vrai »

Si Socrate fait référence à l’énoncé P de Platon, et Platon à l’énoncé S de Socrate, alors S est vrai si et seulement s’il est faux. Il en va de même pour P. Pourtant, aucun des deux énoncés ne fait référence à lui-même. Mais il y a une sorte d’auto-référence implicite : chaque énoncé fait implicitement référence à lui-même, via un autre énoncé qui y fait référence.

[Source : M. Clark, Paradoxes from A to Z, Londres, Routledge, 2002.]

N.B. (Pour les plus matheux d’entre vous.) Les paradoxes du Menteur sont liés aux preuves d’incomplétude de Gödel. Gödel a soutenu que pour tout système formel, il y a des vérités dans ce système que l’on ne peut pas prouver ou démontrer comme vraies. Dans le cas de systèmes arithmétiques, il a montré comment construire des énoncés arithmétiques dans ces systèmes qui peuvent en fait être interprétés comme disant « Le présent énoncé ne peut pas être prouvé ». Un tel énoncé ne peut pas être faux, car sinon une fausseté pourrait être prouvée dans le système. Donc c’est une vérité qui ne peut pas être prouvée. Contrairement à « Le présent énoncé est faux », qui est paradoxal, « Le présent énoncé ne peut pas être prouvé » échappe au paradoxe, car il est vrai.

La machine véridictive (Rudy Rucker)

Le paradoxe du Menteur semble impliquer que la vérité est indéfinissable. Il n’existe aucune définition complète et absolue de la notion de vérité.

Supposons qu’il existe une machine qui trie les livres vrais et les autres. Cette machine doit bien utiliser quelque critère de vérité – et donc exploiter au moins tacitement quelque définition de la notion de vérité.

Appelons ce critère C. Maintenant supposons un livre L contenant l’énoncé suivant :

La machine qui se sert du critère C ne considérera pas que le présent livre est vrai.

Que dira la machine ? Elle ne peut pas classer L comme vrai, ce qui paradoxalement rend L vrai.

Conclusion apparente : on ne peut pas construire une machine (absolument) véridictive parce qu’il n’existe aucune définition absolue de la notion de vérité.

Le paradoxe de Russell

Au début du XXème siècle, une crise se produit au sein de la théorie des ensembles, que venait de fonder Cantor. C’est la « crise des fondements des mathématiques ».

Le paradoxe de Russell est entre autres à l’origine de la crise. Russell l’énonce pour la première fois dans une lettre à Frege en 1903 :

« Soit w le prédicat : être un prédicat qui ne peut être prédiqué de lui-même. Peut-on prédiquer w de lui-même ? De chacune des réponses, il suit l’opposé. Par conséquent on doit conclure que w n’est pas un prédicat. De même il n’y a pas de classe (comme totalité) des classes qui (comme totalités) n’appartiennent pas à elles-mêmes. D’où je conclus que dans certaines circonstances, une collection définissable ne constitue pas une totalité »

Contrairement aux paradoxes sémantiques, le paradoxe de Russell fait intervenir la notion de classe. On peut le comparer au paradoxe du Barbier. Soit un barbier qui ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Se rase-t-il lui-même ? De chaque réponse suit la réponse opposée. Ou encore, considérons un super-catalogue, défini comme le catalogue de tous les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes. Le super-catalogue doit-il se mentionner lui-même ? À nouveau, de chaque réponse suit la réponse opposée.

Mais on peut répondre au paradoxe du Barbier et du super-catalogue qu’il n’existe tout simplement pas de barbier ou de catalogue de ce genre. Or nous ne pouvons pas donner une réponse analogue dans le cas du paradoxe de Russell. Les classes sont des entités abstraites dont nous donnons les conditions d’identité ; pourquoi alors la classe de toutes les classes qui ne se mentionnent pas elles-mêmes ne pourrait-elle pas exister en tant qu’entité abstraite ?

En dépit de la ressemblance évidente entre les paradoxes ensemblistes et les paradoxes sémantiques, la question de savoir s’il existe une solution unifiée aux deux types de paradoxe, de même que celle de savoir quelle forme pourrait prendre une telle solution, sont controversées.

N.B. : Le contenu du reste des notes n’a pas été présenté en cours. Celles-ci sont donc données à titre indicatif, et ne concernent pas le programme de l’examen.

Quelle solution aux paradoxes sémantiques ?

Toute solution aux paradoxes sémantiques doit faire intervenir quelque notion de hiérarchie dans le langage et la pensée.

1. La solution la plus connue du paradoxe du Menteur est due au logicien polonais Alfred Tarski. Tarski pensait que sa solution ne pouvait s’appliquer qu’au langage de la logique, et non au langage naturel qu’il considérait comme étant irrémédiablement confus. Mais d’autres auteurs ont tenté d’appliquer la solution de Tarski au langage naturel.

L’idée centrale est celle d’une hiérarchie de niveaux de langage. Au niveau le plus fondamental, il y a un langage (un ensemble d’énoncés) dépourvu de tout prédicat de vérité. Au niveau 1, un prédicat de vérité peut être appliqué aux énoncés du niveau 0, mais pas aux énoncés du même niveau. Chaque niveau supérieur fait intervenir son propre prédicat de vérité, qui ne s’applique qu’aux énoncés du niveau immédiatement inférieur. On a par exemple la série suivante :

NIVEAU 0 :	Paris est une fête
NIVEAU 1 :	« Paris est une fête » est vrai1.
NIVEAU 2 :	« ‘Paris est une fête’ est vrai1 » est vrai2.
…

Dans la terminologie consacrée, le niveau 0 est un langage-objet pour le niveau immédiatement supérieur, qui est un méta-langage (un langage sur le langage). À son tour, le niveau 1 est un langage-objet pour le niveau 2 (qui est alors un méta-méta-langage), et ainsi de suite.

De fait, on exclut la possibilité de prédiquer un énoncé du même niveau de langage auquel appartient le prédicat de vérité. On échappe ainsi à la contradiction, puisqu’on ne peut même plus former un énoncé auto-référentiel du type « Le présent énoncé est vrai ». Ce type d’auto-référence n’est pas considéré comme grammatical.

Quel est le prix de la solution de Tarski ? La vérité semble être un concept univoque ; or dans cette solution, on a un nombre indéfini de prédicats de vérité différents.

Une autre objection que l’on peut faire contre cette solution est qu’elle interdit des généralisations qui n’engendrent manifestement pas de paradoxes. Par exemple, on ne peut plus dire « Tout énoncé est vrai ou faux », car on ne peut pas quantifier sur les énoncés de tous les niveaux à la fois. On peut aussi dire « Ce que Pierre vient de dire est vrai » sans savoir à quel niveau appartient l’énoncé que Pierre vient de former.

2. Une autre stratégie pour tenter de résoudre les paradoxes sémantiques fait valoir que ceux-ci impliquent un cercle dans la dépendance entre différents types d’entités. Premièrement, il y a une distinction ontologique entre les entités dépendantes (ou dérivées) et les entités indépendantes (ou fondamentales). En second lieu, même si cette distinction est relative, il doit y avoir un fondement d’entités absolument indépendantes. C’est le Principe de fondation.

Exemples d’entités dépendantes : les ensembles d’individus dépendent des individus (et en général, les classes non vides dépendent de leurs membres) ; la connaissance, la croyance et la vérité dépendent d’un contenu propositionnel.

Ainsi, une attribution de vérité dépend de l’énoncé auquel la vérité est attribuée. C’est trivial pour les attributions directes, de la forme « L’énoncé ‘La neige est blanche’ est vrai », où A est un énoncé donné, mais c’est également vrai pour les attributions indirectes, du type « Ce que Pierre vient de dire est vrai », où l’énoncé formé par Pierre n’est pas donné dans l’attribution.

Exemples d’énoncés qui violent le Principe de fondation :

C est la classe dont l’unique membre est C
V : V est vraie
S : Je sais que S
C : Je crois que C

Ces énoncés ne sont pas paradoxaux, mais ils sont intuitivement vides de sens. Mais ils présentent le même défaut que des énoncés qui sont paradoxaux :

	C est la classe des classes qui ne sont pas membres de C
	V : V n’est pas vraie
	S : Je ne sais pas que S
	C : Je ne crois pas que C

Dans chaque cas, nous cherchons à introduire une entité dépendante tout en rendant impossible la définition de ce à partir de quoi l’entité est dérivée. Les attributions de vérité (croyance, connaissance, etc.) ne sont pas fondées. Nous ne pouvons pas établir ce dont on veut dire qu’il est vrai ou faux.

Comme dans la solution de Tarski, cette solution fait intervenir la notion d’une hiérarchie d’entités. Mais contrairement à la solution de Tarski, elle est compatible avec une notion unifiée de vérité.

La leçon générale qu’il faut tirer des paradoxes sémantiques, du point de vue de la raison théorique, est donc la suivante : lorsque vous qualifiez un énoncé de vrai ou de faux, assurez-vous d’être toujours capable d’identifier le sens de cet énoncé indépendamment du fait que vous le qualifiez de vrai ou de faux. Votre raisonnement doit se soumettre au principe de fondation.