Sophismes inductifs
Les questions suivantes ne sont pas des exercices, mais une façon d’illustrer le cours. Les exemples sont tirés de I. Hacking, An introduction to probability and inductive logic. Réponses après les exercices.
Le sophisme du joueur. Paul joue à la roulette dans un Casino. Si la roulette n’est pas biaisée, il doit tomber autant de noirs que de rouges. Les noirs viennent de tomber 13 fois. Est-ce que :
1)	Il y a autant de chances qu’un rouge sorte au prochain coup, qu’un noir ?
2)	Il y a plus de chances qu’un noir sorte au prochain coup, qu’un rouge ?
(Une autre version : cette compagnie aérienne vient d’avoir une accident. Il est très rare qu’une compagnie aérienne ait deux accidents à la suite. Il est donc plus sûr de prendre un avion de cette compagnie.)
Le sophisme du joueur, 2. Vous jouez à un loto où il faut choisir 6 nombres parmi 49. On vous donne le choix entre deux listes de nombres :
1)	32, 24, 13, 5, 34, 43
2)	1, 2, 3, 4, 5, 6
Préférez-vous l’une des deux combinaisons ? Pourquoi ?
Ignorance des recouvrements. Pour faire 7 avec deux dés, il faut obtenir un 6 et un 1, un 5 et un 2, ou un 3 et un 4. Pour faire 6 avec deux dés, il faut faire un 5 et un 1, un 4 et un 2, ou deux 3. Avec deux dés non pipés, vous vous attendez à :
1)	faire 7 plus souvent que 6
2)	faire 6 plus souvent que 7
3)	faire 6 aussi souvent que 7
L’ignorance des taux de base. Il y a deux compagnies de taxi en ville, les Taxis Bleus, dont les voitures sont bleues et les Taxis Jaunes, dont les voitures sont jaunes. Les taxis bleus dominent le marché, avec 85% des taxis en circulation. Par une nuit brumeuse, un témoin a vu un taxi renverser une autre voiture et prendre la fuite. Le témoin assure qu’il s’agit d’un taxi vert. Le témoin est testé dans des conditions similaires d’éclairages, et on trouve qu’il peut correctement donner la couleur d’un véhicule dans 80% des cas. Que concluez-vous ?
1)	La probabilité que le taxi criminel soit vert est de 0.8.
2)	Il est plus probable que le taxi soit vert, mais la probabilité est inférieure à 0.8.
3)	Il est aussi probable que le taxi soit vert qu’il soit bleu.
4)	Il est plus probable que le taxi n’était pas vert, mais bleu.
Une personne sur 10000 est contaminée par le VIH. Lors d’un examen de routine, vous faites un test VIH. Le test est fiable à 99%. Le test est positif. Quelle est la probabilité que vous ayez le VIH ?
1) 0.99.
2) Elevée, mais inférieure à 0.99. 
3) 0.5.
4) moins de 0.5.
Probabilités irrationnelles et raisonnement prototypiques. Léa a 31 ans. Elle est célibataire, ouverte, dynamique et intelligente. Elle a fait des études de philosophie. Quand elle était étudiante, elle militait pour les sans-papiers, et elle a participé au blocage de l’entrée d’une grande surface qui n’était pas équipé pour accueillir les mères accompagnées de leur jeune bébé. Classez les affirmations suivants de 1 (la plus probable) à 6 (la moins probable). (Les égalités de rang sont autorisées).
-	Léa est une militante féministe.
-	Léa est comptable dans une banque.
-	Léa travaille dans une petite libraire.
-	Léa est compable dans une banque et est une militante féministe.
-	Léa est compable dans une banque et est une militante féministe et suit des cours de yoga.
-	Léa est travaille dans une petite libraire, est une militante féministe et suit des cours de yoga.
Exercice 6.1. Jouer ou ne pas jouer au loto, et Pascal
Vous avez le choix entre jouer et ne pas jouer au loto. Jouer vous coûte 1€. On envisage quatre situations :
A)	1000 tickets de loto sont distribués. Il y a un ticket gagnant, qui rapporte 100 €.
B)	1000 tickets de loto sont distribués. Il y a deux tickets gagnants, qui rapportent 100 €.
C)	1 000 000 tickets de loto sont distribués. Il y a un ticket gagnant, qui rapporte 900 000 €.
D)	1 000 000 tickets de loto sont distribués. Il y a un ticket gagnant, qui rapporte 1 000 001 €.
1)	Vos utilités sont égales à l’argent que vous gagnez. Quelle est votre utilité si vous ne jouez pas ? Dans le jeu A, quelle est votre utilité si vous jouez et que vous gagnez ? quelle est votre utilité si vous jouez et perdez ?
2)	Dans le jeu A, quelle est votre espérance de gain si jouez ? Si vous ne jouez pas ?
3)	Qu’est-ce qu’un agent rationnel choisirait dans les situations A, B, C, D ? Justifiez vos réponses.
4)	Que pensez-vous de l’argument suivant (le pari pascalien), au vu de ce qui précède :
Si le paradis existe, alors il procure un bonheur infini. Si vous croyez en Dieu, vous y entrerez peut-être, mais si vous n’y croyez pas, vous n’y entrerez pas. Il faut donc croire en Dieu.
Exercice 6.2. Les deux loteries
Deux loteries sont tirées. La loterie A a un ticket gagnant sur 10 tickets. La loterie B a un ticket gagnant sur 100. Le ticket gagnant rapporte 2 € pour la loterie A, 10 € pour la loterie B. Les deux tirages sont des événements indépendants.
1)	Admettons que j’ai un ticket de chaque loterie. Quelle est la probabilité que je gagne aux deux ? Quelle est la probabilité que je gagne à la loterie A mais pas à la B ? A la B mais pas à la A ? Que je perde au deux (dans ce dernier cas, vous n’êtes pas obligé de calculer la valeur, il suffit de donner la fraction) ?
2)	Quels sont vos gains dans chacune de ces situations ?
3)	Quelle est votre espérance de gain si vous avez un ticket de chaque loterie ?
Sophismes inductifs
Les questions suivantes ne sont pas des exercices, mais une façon d’illustrer le cours. Les exemples sont tirés de I. Hacking, An introduction to probability and inductive logic. Réponses après les exercices.
Le sophisme du joueur. 
Il y a autant de chances qu’un rouge sorte au prochain coup, qu’un noir.
Les deux combinaisons sont équivalentes. (Et si personne n’utilise la première, elle rapporte plus. Mais en fait, beaucoup de monde croient que personne n’utilise la première, et utilisent la première.)
Ignorance des recouvrements. 
On peut s’attendre à faire 7 plus souvent. Il y a 6 moyens de faire 7, alors qu’il y en que cinq de faire 6. (On peut faire 5 avec le premier dé, et 1 avec le second, on peut faire l’inverse, etc… Mais dans le cas de 7 on a deux moyens de faire 3 et 4, alors que dans le cas de 6, on n’a qu’un moyen de faire 3 et 3). Faites un tableau avec les 36 possibilités pour un jet de deux dés, pour vous en rendre compte.
L’ignorance des taux de base. 
Il est plus probable que le taxi était bleu. Et il y a moins de 0.5 chances que vous ayez le VIH.
Probabilités irrationnelles et raisonnement prototypiques. 
Les dernières affirmations sont les moins probables. En effet, si Léa est comptable et est une militante féministe, alors elle est comptable. Donc le fait qu’elle soit comptable est au moins aussi probable que le fait qu’elles soit comptable et militante.