PH113B, TD1, Semaine 10
Plan du cours
1)	Symbolisation dans le langage du calcul propositionnel
2)	Conditionnels
I. Symbolisation dans le langage du calcul propositionnel
Le langage du calcul propositionnel est un langage simple pour formuler les énoncés complexes, c’est-à-dire les énoncés qui sont construits à partir de connecteurs. Symboliser un énoncé dans le calcul du langage propositionnel revient à le mettre sous forme standard :
Enoncé complexe	Mise sous forme standard	Symbolisation	
« Pierre est parti sans prendre son chapeau »	« Pierre est parti et Pierre n’a pas pris son chapeau »	p &  q
ou aussi :  p q 	
« Pierre est parti à moins qu’il soit à la cuisine. »	« Si Pierre n’est pas dans la cuisine, alors il est parti »	p  q
Ou aussi : p  q	
« Pierre est dans la cuisine et Jean dans la chambre ou Paul est parti. »	« Pierre est dans la cuisine et Jean dans la chambre, ou Paul est parti. »	(p & q)  r
Ou aussi : (p  q)  r	

Symboles utilisés :
Symboles de connecteurs
	négation logique
&, 	conjonction logique (« et » non temporel)
	disjonction logique (« ou » inclusif)
, 	conditionnel matériel (« si… alors… » pris au sens du conditionnel matériel)
Symboles d’énoncés
p, q, r, …	chacune de ces lettres désigne un énoncé simple ; vous devez à chaque fois préciser lequel dans un mini-« dictionnaire » de votre symbolisation.
Parenthèses
Sans les parenthèses, une symbolisation d’énoncés peut être ambiguë. 
Exemple d’ambiguïté en français : « Pierre est grand ou Pierre est fort et Jacques est intelligent ». Est-ce que cela signifie 1) « (Pierre est grand ou Pierre est fort) et (Jacques est intelligent) » ? Ou 2) « (Pierre est grand) ou (Pierre est fort et Jacques est intelligent) » ?
De même, avec p = « Pierre est parti », q = « Quentin est parti », r = « Richard est parti » :
p & q  r  est ambigü. Est-ce :
- (p & q)  r, qui signifie « Si Pierre est parti et Quentin est parti, alors Richard est resté. »
- p & (q  r), qui signifie « Pierre est parti et, si Quentin est parti, alors Richard est parti. »
Attention à la négation :
 p & q est ambigü. Est-ce :
-  (p & q), qui signifie « il est faux que Pierre est parti et que Quentin soit parti. » (soit Pierre et Quentin ne sont pas partis)
- ( p) & q, qui signifie « Pierre n’est pas parti, et Quentin est parti. »
Comment répondre à un exercice de symbolisation.
Si on vous demande de symboliser en calcul propositionnel, par exemple : « Pierre est grand mais Jacques n’est pas fort. », il faut répondre de la façon suivante :
« Pierre est grand mais Jacques n’est pas fort » : p & ( q)
p : « Pierre est grand »
q : « Jacques est fort »
Les deux dernières lignes constituent le « mini-dictionnaire » qui vous permet de dire au correcteur quelle est la signification des symboles d’énoncés (p, q, r, etc.)
II. Les Conditionnelles
Les conditionnelles en français.
Exemple de conditionnelle :
« Si tu ouvres le robinet, l'eau va couler. »
Une conditionnelle est une affirmation sous condition. Elle comporte un antécédent (« tu ouvres le robinet »), et un conséquent (« l’eau va couler »). 
Notez bien que ni l’antécédent ni le conséquent ne sont affirmés. On affirme seulement le lien conditionnel qui existe entre eux : si l’un est vrai, l’autre est vrai.
Table de vérité du conditionnel matériel
A première vue, la table de vérité de la conditionnelle précédente est la suivante :
« tu ouvres le robinet »	« l’eau va couler »	« Si tu ouvres le robinet, l’eau va couler »	
V	V	V	
V	F	F	
F	V	V	
F	F	V	
Cette table définit ce qu’on appelle le conditionnel matériel ou implication matérielle. (On aurait pu l’appeler le « conditionnel logique », malheureusement ce n’est pas son nom.)
Définition du conditionnel matériel
Une implication matérielle n’est fausse que si l’antécédent est vrai et le conséquent faux (ligne 2 ci-dessus). Elle est vraie dans tous les autres cas.
Nous allons voir qu’il n’est pas sûr que dans la langue naturelle, le « si… alors… » correspond toujours au conditionnel matériel. Mais nous prendrons pour hypothèse de départ que les « si… alors… » sont des conditionnels matériels, tant qu’il n’est pas nécessaire de les considérer autrement. (Et vous adopterez cette hypothèse pour les exercices.) Il n’est pas possible de la justifier ici, disons seulement qu’il faut mieux commencer par une hypothèse simple, en général.
Symbolisation
La conditionnelle matérielle se symbolise avec le sabot «  ». Par exemple, si l’énoncé « Si Pierre ouvre le robinet, l’eau va couler » est un conditionnel matériel, on le symbolisera :
p  q 
p : Pierre ouvre le robinet
q : l’eau va couler
On peut également utiliser la flèche «  » :
p  q
Définition du conditionnel matériel : un conditionnel est faux si l’antécédent est vrai et le conséquent faux, sinon il est vrai.
Problèmes liés au conditionnelles.
Différentes formulations en français
"si", "quand", "lorsque", "à moins que", "sauf si", "pour que", etc.
L'antécédent n'est pas toujours en premier. "Il tousse quand il fume."
Cf. Exercices 5.1 et 5.2.
Conditionnel indicatif et subjonctif
1)	« Si Oswald n'a pas tué Kennedy, quelqu'un d'autre l'a fait. »
2)	« Si Oswald n'avait pas tué Kennedy, quelqu'un d'autre l'aurait fait. »
Les deux types de phrases conditionnelles n’ont pas le même sens. En effet, il est possible que l’une soit vraie alors que l’autre est fausse (dans l’exemple ci-dessus, il est certain que (1) est vrai, et probable que (2) est faux).
Les conditionnelles au subjonctif sont dites [phrases] contrefactuelles, parce qu’elles envisagent des situations contraires aux faits, c’est-à-dire des situations différentes de la situation dans laquelle nous sommes réellement (la situation réelle).
Les contrefactuelles ont des propriétés logiques complexes, qui n’ont été comprises que vers les années 1970, par les philosophes David Lewis et Robert Stalnaker. Par exemple, il est possible que les deux contrefactuelles suivantes soient vraies en même temps :
1)	Si Oswald n’avait pas tué Kennedy, quelqu’un d’autre l’aurait fait.
2)	Si Oswald n’avait pas tué Kennedy et si Kennedy portait un gilet pare-balle, personne d’autre ne l’aurait fait.
En ajoutant un antécédent, on peut obtenir une conclusion différente. Ce n’est pas du tout le cas des conditionnelles indicatives :
3)	Si Oswald n’a pas tué Kennedy, quelqu’un d’autre a tué Kennedy.
4)	Si Oswald n’a pas tué Kennedy et si Kennedy porte un gilet pare-balle, personne n’a tué Kennedy.
Ou bien dans le monde réel, Kennedy a été assassiné, ou bien il ne l’a pas été (il semble qu’il l’ait été !). S’il a été assassiné, la première conditionnelle est vraie, mais la seconde est fausse. S’il ne l’a pas été, la seconde peut être vraie, mais la première est certainement fausse. (3) et (4) sont incompatibles. La raison en est simple :
-	l’antécédent de (4) implique celui de (3). (Si O n’a pas tué et K porte un gilet, alors O n’a pas tué.)
-	Or si (3) est vrai, son antécédent implique son conséquent. (Si O n’a pas tué, quelqu’un d’autre l’a fait)
-	Donc, si l’antécédent de (4) est vrai (O n’a pas tué et K porte un gilet), alors le conséquent de 3 est vrai (qqn d’autre a tué Kennedy). Il est donc impossible qu’on obtienne qqch d’incompatible avec le conséquent de (3), comme « personne n’a tué Kennedy ».
Pour des raisons qui sont restées longtemps obscures, ce genre de chose ne vaut pas pour les contrefactuelles.
(La propriété vue ici, i.e. la possibilité d’ajouter un grand nombre de prémisses sans changer la conclusion, se nomme la monotonie des inférences déductives.)
Condition suffisante et nécessaire
On parle souvent, en philosophie, de conditions nécessaires et/ou suffisantes. (Ou du moins, on devrait, car très souvent cela permet de clarifier les affirmations que l’on fait.) Ce n’est pas la même chose de dire :
- il est nécessaire d’agir de façon désintéressée pour agir de façon moralement bonne.
Que de dire :
- il suffit d’agir de façon désintéressée pour agir de façon moralement bonne.
Ni que de dire :
- il faut et il suffit d’agir de façon désintéressée pour agir de façon moralement bonne.
Les affirmations de conditions nécessaires et suffisantes sont directement synonymes de conditionnelles :
A condition suffisante de B = "si A, alors B" = A  B
A condition nécessaire de B = "si B, alors A" = B  A
Exemples :
« Il est suffisant d'ouvrir le robinet pour que l'eau coule. » = « Si le robinet est ouvert, alors l’eau coule. »
« Il est nécessaire que les canalisations soient en état pour que l'eau coule » = « Si l’eau coule, alors les canalisations sont en état ».
D’autres formulations des mêmes notions existent. Entraînez-vous à les convertir en conditionnelles « si… alors… ». Cf. exercices. (Par exemple : « L'eau coule seulement si les canalisations sont en état » = « Si les canalisations sont en état, alors l’eau coule »).
Une formulation courante des conditions nécessaires est « seulement si ». On distingue ainsi « l’eau coule si le robinet est ouvert », qui dit : « que le robinet soit ouvert est une condition suffisante pour que l’eau coule. » et « l’eau coule seulement si le robinet est ouvert », qui dit : « que le robinet soit ouvert est une condition nécessaire pour que l’eau coule ». Attention : dans les formulation « A si B » et « A seulement si B », les conditions sont après ce dont elles sont conditions (B est la condition, dans ces deux formulations). Dans « Si B, alors A », la condition est avant. Cela ne doit pas surprendre : « Si B, alors A » et « A si B » sont synonymes. Lorsqu’une condition est nécessaire et suffisante, on peut donc utiliser « si et seulement si ». (Pour vous entraîner, reformulez les trois affirmations à propos de la morale du début de cette section, en termes de « si » et « seulement si ».)
Les notions de condition suffisante et de condition nécessaire sont interdéfinissables : vu les définitions ci-dessus, il est facile de voir que si A est condition suffisante de B, alors B est condition nécessaire de A, et inversement. Cette idée peut créer de la confusion au début. Les exercices de reformulations permettent de s’entraîner.
Les causes sont des conditions suffisantes de leurs effets. Par exemple, supposons que le jet d’une brique par Pierre, dans la vitre, cause la rupture de la vitre. Alors il est vrai que « Si Pierre jette une brique dans la vitre, alors la vitre est cassée ». Ce qui est synonyme de : « Il suffit que Pierre jette une brique dans la vitre, pour que la vitre soit cassée. »
Attention, cela ne signifie pas que toutes les conditions suffisantes sont des causes ; donc la notion de cause n’est pas réductible à celle de condition suffisante. Exemple : supposons que la porte du 134 rue Machin était fermée à clef hier matin, qu’il n’y a qu’une clef qui ouvre cette porte, que Pierre possède cette clef. Dans cette situation, il est clair que « si la porte est ouverte, alors Pierre l’a ouverte » est vrai. (On suppose que Pierre n’a pas pu perdre ou se faire voler la clef.) Mais cela signifie que « il suffit que la porte soit ouverte pour que Pierre l’ait ouverte ». Or il est tout aussi clair que le fait que la porte soit ouverte n’est pas cause de son ouverture par Pierre ! Les affirmations de conditions suffisantes (et celles de conditions nécessaires) sont des conditionnelles, et comme les conditionnelles, il faut les distinguer des relations causales.
Donc toutes les conditions suffisantes ne sont pas des causes. Mais cela n’empêche pas que toutes les causes sont des causes suffisantes – dans l’exemple de Pierre, il est également vrai qu’il suffit que Pierre ouvre la porte (cause) pour que la porte soit ouverte (effet). Or par l’interdéfinissabilité donnée plus haut : si les causes sont des conditions suffisantes, les effets sont des conditions nécessaires de leur causes. Cela est beaucoup moins évident à première vue. Par exemple : « pour que la brique soit jetée dans la vitre, il faut que la vitre soit cassée » est vrai. En effet, si la brique est jetée dans la vitre, alors la vitre est cassée. Par définition de « condition nécessaire » (remplacer B par la « brique est jetée » et A par la « vitre est cassée » dans le schéma ci-dessus), il suit que « le fait que la vitre soit cassée est une condition nécessaire du fait que la vitre soit jetée ».
La raison pour laquelle nous trouvons étrange qu’une affirmation comme « pour que la brique soit jetée dans la vitre, il faut que la vitre soit cassée » soit vraie, est que nous pensons que les conditions nécessaires sont toujours des événements antérieurs à ce dont elles sont condition. Et même il me semble que nous sommes tentés de penser que les « conditions » sont toujours temporellement antérieures à ce dont elles sont conditions. Ce n’est pas le cas. (Elles ne sont pas « logiquement » antérieures non plus. Tout simplement parce que si p est une condition nécessaire de q, alors q est une condition nécessaire de p : il n’y a aucun sens de dire que p est « logiquement antérieur » à q ou que q est « logiquement antérieur » à p.)
Dire que A est condition suffisante de B, c’est dire que si on a A, on a B. Dire que A est une condition nécessaire de B c’est dire que si on a B, on a A. En conséquence, dire que A est une condition nécessaire et suffisante de B, cela revient à dire que quand on a A, on a B, et quand on a B, on A. (Si A alors B et si B alors A). Il en résulte que les deux affirmations sont vraies en même temps, ou fausses en même temps, mais qu’il est impossible que l’une soit vraie et l’autre fausse. On peut voir cela sur une table de vérité, en prenant l’exemple suivant : « le fait que le robinet soit ouvert est une condition nécessaire et suffisante du fait que l’eau coule ».
Le robinet est ouvert	L’eau coule	Si le robinet est ouvert, alors l’eau coule.
= que le robinet soit ouvert suffit pour que l’eau coule.	Si l’eau coule, alors le robinet est ouvert.
= que le robinet soit ouvert est nécessaire pour que l’eau coule.
	L’eau coule si et seulement si le robinet est ouvert.
= que le robinet est ouvert suffit, et est nécessaire, pour que l’eau coule.	
V	V	V	V	V	
V	F	F	V	F	
F	V	V	F	F	
F	F	V	V	V	
Colonnes 3 et 4 : les valeurs découlent simplement de la table de « Si… alors… ».
Colonne 5 : l’énoncé est la conjonction logique de l’énoncé de la colonne 3 et de l’énoncé de la colonne 4. Il est donc vrai quand on a V dans les deux colonnes 3 et 4, faux sinon.
Ce que dit le tableau, c’est que le dernier énoncé : « L’eau coule si et seulement si le robinet est ouvert. » n’est vrai que lorsque « l’eau coule » et « le robinet est ouvert » sont tous deux vrais (ligne 1), ou tous deux faux (ligne 4), mais pas dans les autres situations. Affirmer cet énoncé, c’est donc affirmer que nous sommes dans l’une de ces deux situations.

Remarque: L’idée de condition nécessaire et suffisante est utile pour comprendre ce qu’est une définition. En effet, quelque chose ne peut être une définition que si elle est au moins une condition nécessaire et suffisante de ce qu’elle définit. Autrement dit, soit T le terme à définir, et Def sa définition. Alors il faut que : 
(ADM)	Pour tout x, x est T si et seulement si x est Def.
(Pour tout x, x est Def est une condition suffisante et nécessaire pour que x soit un T.)
J’appelle ce principe ADM pour adéquation définitionnelle minimale : c’est la condition minimale qu’une définition doit remplir pour être une définition.
Supposons qu’on essaie de définir « être un chien » par « être un animal domestique qui aboie ». Ce que (ADM) dit est qu’il faut que :
Pour tout x, x est un chien si et seulement si x est un animal domestique qui aboie.
On peut développer ça en deux affirmations :
1)	La définition est une condition nécessaire du défini. Si x est un chien, alors x est un animal domestique qui aboie. 
2)	La définition est une condition suffisante du défini. Si x est un animal domestique qui aboie, alors x est un chien.
A partir de là, on peut voir aisément que la définition est fausse. En effet, 1) n’est pas vrai : certains chiens n’aboient pas (suite à une maladie). Certains chiens ne sont pas domestiques. 2) n’est pas vrai non plus : les loups sont des animaux, aboient, et certains loups sont domestiqués. Il y a donc des animaux domestiques qui aboient et qui ne sont pas des chiens.
(ADM) n’est qu’une condition minimale pour qu’une définition supposée soit une vraie définition. En effet, il est facile de respecter (ADM), avec des définitions comme celle-ci :
Un chien est un chien.
On peut rajouter une autre condition : la non-circularité (NC). Pour que Def est une définition de T, il ne faut pas que Def contienne T, le terme à définir. (Il faudrait raffiner, mais laissons cela ici.)
Il n’est pas sûr que (ADM) + (NC) disent ce qu’est une définition. On peut douter en effet que cela suffise. Par exemple, supposons que « est un animal capable de rire » est une condition nécessaire et suffisante pour être un homme. (Si x est un homme, alors x est capable de rire, et si x est capable de rire, alors x est un homme.) La définition proposée ne semble pas circulaire. Aurait-on pourtant véritablement une définition de « homme » ? On a l’impression que non ; tout ce qu’on a, c’est un critère qui nous permet de distinguer les hommes des non-hommes.
Pourtant, il est déjà très difficile, en général, de satisfaire (ADM) et (NC). Quand vous proposez des définitions en philosophies, essayez d’examiner les versants « condition nécessaire » et « condition suffisante ». En réfléchissant bien, vous vous apercevrez presque toujours qu’il y a des contre-exemples à votre définition (des choses qui rentrent dans la définition, mais pas dans le terme principal, et inversement). Cela vaut également pour beaucoup de définitions proposées par les grands philosophes.